例析分段函数问题

海安县曲塘中学  倪铜

分段函数在教材中是以例题的形式出现的，并未作深入说明，所以学生对此认识比较肤浅，随着高考命题思维量的加大，分段函数成了新的热点和亮点，本文就分段函数的有关问题整理、归纳并进行简单的探讨：

分段函数的概念：

所谓“分段函数”，习惯上指在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数．对它应有以下两点基本认识：

（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；

（2）分段函数的处理方法：分段函数分段研究；

（3）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

一．求分段函数的函数值：

求分段函数的函数值时，首先应确定自变量在定义域中所在的范围，然后按相应的对应法则求值．f(x)是分段函数，要求f{f[f(a)]}，需要确定f[f(a)]的取值范围，为此又需确定f(a)的取值范围，然后根据所在定义域代入相应的解析式，由内而外，逐步求解．

 

例1已知函数f(x)＝ ，求f{f[f(a)]} (a＜0)的值．

分析与解 ∵a＜0，∴f(a)＝2^a，∵0＜2^a＜1，∴f[f(a)]＝f(2^a)＝ ，∵ ＞1，

∴f{f[f(a)]}＝f( )＝log ＝－ ．

点评 此题考察了指数、对数函数的值域，解题时特别注意它们的单调性。

二．求分段函数的解析式

求分段函数解析式时，通常涉及函数的奇偶性、对称性、周期性，可借助定义、图像多种手段结合进行解题。

例2　已知奇函数f(x)(x∈R)，当x＞0时，f(x)＝x(5－x)＋1．求f(x)在R上的表达式．

分析与解 要求f(x)在R上的表达式即求f(x)在x≤0时的解析式，注意到奇函数可得f(0)＝0，再利用奇函数的定义可得f(x)在x＜0时的解析式。

∵f(x)是定义域在R上的奇函数，∴f(0)＝0．

又当x＜0时，－x＞0，

故有f(－x)＝－x[5－(－x)]＋1＝－x(5＋x)＋1．

再由f(x)是奇函数，

f(x)＝－f(x)＝x(5＋x)－1．∴ ．

点评 求分段函数解析式时，对于x＝0时的函数值要加以注意，涉及周期性，可利用周期函数的定义解题，也可利用图像的平移求解析式。

三．求分段函数的最值

求分段函数的值域、最值，是高考中常见题型，常用方法有1．先求各段值域再求它们的并集；2．利用分段函数的单调性求值域；3．属性结合，利用图像解题。

例3　求函数y＝ 的最小值。

分析与解  方法1　先求每个分段区间上的最值，后比较求值．

当x≤0时，y＝f(x)＝2x＋3，此时显然有y_max＝f(0)＝3；

y 4 3 2 1          0    1  2   3  4  5  x

当0＜x≤1时，y＝f(x)＝x＋3，此时y_max＝f(1)＝4；

当x＞1时，y＝f(x)＝－x＋5，此时y无最大值．比较可得当x＝1时，y_max＝4．

方法2  利用函数的单调性

由函数解析式可知，f(x)在x∈(－∞，0)上是单调递增的，在x∈(0，1)上也是递增的，而在x∈(1，＋∞)上是递减的，由f(x)的连续性可知f(x)当x＝1时有最大值4

方法3　利用图像，数形结合求得

作函数y＝f(x)的图像（右图），

显然当x＝1时y_max＝4．

－1

x

y

O

例4  （2006浙江）对a，b∈R，记则max{a，b}＝ ，则函数f(x)＝max{│x＋1│，│x－2│}(x∈R)的最小值是　       　．

分析与解  方法一：f(x)＝ ，再用上述方法一可得f(x)_min＝ ；

方法二：数形结合：作函数y＝f(x)的图像（右图）：

显然，当x＝ 时f(x)_min＝ 。

点评  例题3中，三段都是一次函数，较为简单，三种方法都可利用；例4是含绝对值问题，数形结合更为简单，解题时要灵活应用。

5．分段函数的奇偶性：

判断分段函数的奇偶性，首先定义域应关于原点对称。一用定义法求解；二利用图像求解，若图像关于原点对称则奇函数，若关于y轴对称则为偶函数。

例5  判断函数f(x)＝ 的奇偶性．

解：当x＞0时，－x＜0， f(－x)＝－(－x)²(－x＋1)＝x²(x－1)＝f(x)；

当x＝0时，f(－0)＝f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝(－x)²(－x－1)＝－x²(x＋1)＝f(x)．因此，对任意x∈R都有f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数．

点评  分段函数的奇偶性用定义法判断时，必须对x的值分类比较f(－x)与f(x)的关系，得出f(x)是否是奇偶函数的结论．

6．分段函数的单调性

例6  已知函数f(x)＝ 在(－∞，＋∞)上单调递减，求实数a的取值范围．

 判断分段函数的单调性，先判断各段的单调性，再比较各段在端点处的函数值的大小，若在(－∞，a]和[a，＋∞)上都单调增（减）则函数在R上单调增（减），若在(－∞，a)和[a，＋∞)上都单调增（减），则还需判断两段在x＝a时的各自函数值的大小再做决定。

分析与解  函数是R上的单调减函数，则必有f(x)在(－∞，1]和[1，＋∞)上都单调减，则有

Þa∈ ．

点评  此分段函数在R上单调，则各段都具备相同的单调性，同时要保证两段函数在x＝1时函数值的大小关系。

7．解分段不等式

解分段不等式也是高考中常见题型，一分段解不等式：直接转化为几个不等式组来解；二结合图像，利用单调性解，此种题型有时隐蔽性较强，一般格式为f(a)≥f(b)(≤)，要能加以识别。

例7  设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的x的取值范围为           ．

分析与解 分段来求，直接转化为不等式求解。

Þx∈(－∞，－2]∪[0，1)或 Þx∈[1，10]，

综上：x∈(－∞，－2]∪[0，10]

例8（2010江苏）已知函数 ，则满足不等式f(1－x²)＞f(2x)的x的范围是      ．

O

x

1

y

分析与解 数形结合，利用函数的单调性解题

作出函数y＝f(x)的图像：可知在[0，＋∞) 上单调递增，由图像得：

Þx∈(－1， －1)．

点评  例7中，直接求f(x)≥1，1是常数，一般都转化为不等式组解；例8中应利用单调性求，但要注意到此函数在(－∞，0)是常数函数，不具备单调性。此题不等号若改为“≥”又该如何求解呢？

8．分段函数的综合问题

高考题中，经常出现含有绝对值的问题，用定义去掉绝对值符号，其本质仍然是分段函数问题。

例9已知函数f(x)＝ ，(x＞0)．

（1）当0＜a＜b，且f(a)＝f(b)时，求证：ab＞1；

（2）是否存在实数a，b(a＜b)，使得函数y＝f(x)的定义域、值域都是[a，b]，若存在，则求出a，b的值，若不存在，请说明理由．

解  （1）∵x＞0，∴  

∴f(x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上是增函数．

由0＜a＜b，且f(a)＝f(b)，可得0＜a＜1＜b，

所以有 ，即 ．∴2ab＝a＋b＞2 ，故 ＞1，即ab＞1．

（2）不存在满足条件的实数a，b．

若存在满足条件的实数a，b，使得函数 的定义域、值域都是[a，b]，则a＞0．由

①当a，b∈(0，1)时， 在(0，1)上为减函数．

故 ，即 ，解得a＝b．故此时不存在适合条件的实数a，b．

②当a，b∈[1，＋∞)时，f(x)＝1－ 在(1，＋∞)上为增函数．故 ，即

此时a，b是方程x²－x＋1＝0的根，由于此方程无实根．故此时不存在适合条件的实数a，b．

③当a∈(0，1)，b∈[1，＋∞)时，由于1∈[a，b]，而f(1)＝0Ï[a，b]，故此时不存在适合条件的实数a，b．

综上可知，不存在适合条件的实数a，b．

点评  此题结合图像会有更深刻的认识。

分段函数问题是高考中的常见题型，有时披上绝对值的“外衣”，主要考察定义域、值域、单调性、奇偶性等知识点，主要运用转化与划归思想、分类讨论思想、数形结合思想等数学思想方法，解题中弄清题意，去伪存真，抓住问题的本质，就可化繁为简，得心应手。

 （本文发表于《中小学数学》2011.3）