复杂运动，分而治之

                                               ------例析运动的合成与分解在电磁场中的应用

海安县曲塘中学  王旭

   在解决带电体在不同场中的复杂运动时,解决问题的关键在于能够准确分析运动过程中物体所受到的力，灵活运用运动的合成与分解知识，化复杂运动为我们熟悉的基本运动来处理。下面就带电体在几种不同场中的复杂运动举例说明处理方法。

 例1．一个质量为m、电荷量为+q的小球以初速度v₀水平抛出，在小球经过的竖直的平面内，存在着若干个如图所示的无电场区和有理想上下边界的匀强电场区，两区域相互间隔、竖直高度相等，电场区水平方向无限长，已知每一电场区的场强大小相等、方向均竖直向上，不计空气阻力，下列说法正确的是(     )

A．小球在水平方向一直作匀速直线运动

B．若场强大小等于 ，则小球经过每一无电场区的时间均相同

C． 若场强大小等于，则小球经过每一电场区的时间均相同

v0

第一无电场区

第二无电场区

E

第一电场区

E

第二电场区

D．无论场强大小如何，小球通过每一无电场区的时间均相同

 

 

 

 

 

 

 

解析：带电小球水平方向上无力的作用，一直做匀速直线运动，A正确。合运动和竖直方向的分运动具有等时性，若场强大小等于 ，则小球在竖直方向的运动是周期性对称的匀加速直线运动和匀减速直线运动，B正确。若场强大小为 ，则在有电场区域小球匀速运动，竖直分运动也是匀速但速度大小越来越大，故时间越来越短；而无电场区域的竖直分速度越来越大，时间也越来越短，C错误，D也错误。

点评：本题中带电小球的实际运动是变加速曲线运动，而在两个方向上将运动进行分解，复杂曲线运动就变成了我们善于处理的直线运动。

例2．在金属板 之间加上如图乙所示的大小不变、方向周期性变化的交变电压 ,其周期是 。现有电子以平行于金属板的速度 从两板中央射入已知电子的质量为 ,电荷量为 ,不计电子的重力,求:

（1）若电子从 时刻射入,恰能平行于金属板飞出,则金属板至少多长?

（2）若电子恰能从两板中央平行于板飞出,电子应从哪一时刻射入,两板间距至少多大?

解析：（1） 时刻射入，电子在此交变电场中水平方向匀速运动，竖直方向 向上做匀加速直线运动， 向上做匀减速直线运动， 时刻竖直速度刚好为零。同理， 时刻竖直分速度均为零，均恰能平行于金属板飞出，而水平方向上应有 ，故当 时 。

（2）根据竖直方向运动的对称性可知，当 时刻射入时，电子恰从两板中央平行于板飞出，且竖直方向 ， ，即

点评：本题中带电粒子垂直入射周期性变化的匀强电场中，受到周期性变化的变力作用，运动较为复杂。但由于在水平方向不受力，竖直方向的力随时间成周期性变化，故竖直方向做周期性的匀加速直线运动和匀减速直线运动，且运动对称，用匀变速运动的知识求解即可。

例3．如图所示，在 的空间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度 ，在 的空间同时存在沿 轴负方向的匀强电场，场强 。一个 、带电量 的带电粒子以初速度 从 轴上的 点(纵坐标为 m)出发，沿着 方向进入区域I．粒子重力不计，粒子在整个运动过程中始终没有穿出电磁场区域。

(1)求带电粒子第一次穿越 轴时的横坐标 ；Ks5u

(2)请结合运动合成和分解的知识，求出带电粒子在区域Ⅱ中到达最低点的纵坐标 ；

0

(3)求带电粒子从进入区域I开始到第二次穿越 轴时经过的时间 。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

解析：

（1）       略。

（2）       带电粒子刚进入Ⅱ中时，                   

  分别对应两个方向的洛伦兹力                                  

而Ⅱ中电场力大小 ，且方向和 相反，   ，故粒子在Ⅱ中的运动可分解为沿 轴正方向的速度为 的匀速直线运动和以速率 运动的匀速圆周运动，而 ，

所以在Ⅱ中达到最低点的纵坐标 。

图2

 

 

 

 

 

 

 

(3)粒子在Ⅰ中的时间 ，在Ⅱ中的时间有合运动和分运动的等时性有： ，

而

 

点评：本题带电粒子在区域Ⅱ中的运动是一种复杂的曲线运动。要分析运动的性质，首先由受力分析可知受洛伦兹力和电场力，当粒子进入区域Ⅱ瞬间，可将速度沿 方向和沿 方向进行分解，而 、 分别对应的洛伦兹力为 和 （如图2），经计算 ，二力平衡，所以粒子在Ⅱ中的运动可分解为沿 轴正方向速度为 的匀速直线运动和以速率 运动的匀速圆周运动，问题迎刃而解。