传送带上的动力学问题

海安县曲塘中学    严圣琴

在高中物理必修课本中的牛顿运动定律部分经常遇到皮带传送小物块这一类型的题目，我们好多同学对于传送带上的动力学问题搞得不是很清楚，使得每次做到这一类题目总是会出错，这里我借一道题及其变式来阐述一下如何分析和理解传送带问题。

例．如图所示，皮带的速度是10m/s，两轴心距离s=16m，现将m=0.5kg的小物体轻放在左轮正上方的皮带上，皮带与皮带间的动摩擦因数为μ=0.5．

A

B

 

 

 

一．过程的分析很重要

①求物体从A端运动到B端所用的时间。

剖析：小物体在皮带上的运动过程的分析是解这个问题的关键，开始时在向右的滑动摩擦力的作用下向右加速，达到皮带的速度后就不再受摩擦力了，后来不受摩擦力这一点很多同学不是很理解，大家会觉得他们之间可能会有静摩擦力的作用，否则物体怎么会跟皮带一起运动呢？由于物体和皮带之间没有相对运动趋势，物体由于惯性而跟皮带一起匀速。假设物体受摩擦力作用，那物体还会继续加速乃至速度会超过皮带，这是不可能的。

二．数理结合有时也需要

②上题中若要使得物体从A端运动到B端所用的时间最短，则传送带的速度大小应满足什么条件？最短时间为多少？

剖析：若皮带的速度越大则加速时间越长，加速距离越长，匀速时间越短，总时间如何变化呢？我们有两个方法来解决这个问题。

法一：数学函数法

设皮带速度为v，则加速时间t₁=v/μg，加速距离为x₁=v²/2μg，匀速时间为t₂=(l-x₁)/v，

总时间t=t₁+t₂=l/v+v/2μg，由数学知识可知：当l/v=v/2μg时，时间最短 ，此时皮带速度 ．若皮带速度 时，小物块一直加速，最短时间为 ．

t

v

1

2

3

法二：物理图像法：

当皮带的速度变化时，我们做出小物块的速度时间图像，

可以发现发现第3种情况下物体运动的时间最短，即物体

一直做匀加速直线运动时所用的时间最短。

由l=at²/2可得 ，皮带速度 ．

点评：在运动学部分很多题目可以通过物理图像来分析，图像法更直观、简洁、易懂。

三．举一反三试试也必要

变式：若上题中的皮带不是水平放置，而是与水平面成37°角，轮子顺时针转动，如图所示，其他条件不变，求物体从A端运动到B端所用的时间。 (取 g＝10m/s²)

37°

A

B

37°

mg

FN

Ff

剖析：刚开始物体相对于皮带向上滑动，所以滑动摩擦力沿斜面向下，受力分析如图：物体将产生沿斜面向下的加速度a=(mgsin37°+μmgcos37°)/m=10m/s²

同样当物体的速度达到皮带速度时：t₁=v/a=1s

通过的位移x₁=(0+v)/t₁=5m

 

剩下的11m该如何运动呢？是不是与上题一样也跟皮带保持

相对静止一起匀速呢？这个问题是同学们的一个易错点，好多同学

都认为会一起匀速。我们就假设一起匀速，则物块受到静摩擦力的

作用且F_f=mgsin37°=3N，而实际上最大静摩擦力只有

v

t

Ff_max=μmgcos37°=2N，由此得出矛盾，可知他们不可能相对静止，由于重力沿斜面向下的分量要大于物体与斜面之间的最大静摩擦力，所以物体仍要相对于斜面加速下滑，且加速度发生变化a₂=(mgsin37°-μmgcos37°)/m=2m/s²，由x₂=vt₂+a₂t₂²/2可得t₂=1s

所以t=t₁+t₂=2s

整个过程的速度时间图像如右图所示：

思考：若其他条件不变而将动摩擦因数μ改为0.8，则结果又如何呢？

综上：皮带上的动力学问题的解决关键是正确分析出物块在各个阶段所受到的摩擦力的大小和方向，根据牛顿运动定律求出加速度，根据运动学公式求出最终的结果，有时借助于速度时间图像可以形象直观的分析出物块的运动过程。