向量综合运用的数形结合

                                                              田玉梅

向量身具数和形的双重身份，成为了高中数学中各章节知识的媒介，它与各个知识的联系比较紧密。近年对向量自身的考查难度一般不大，只要掌握了平面向量的基础知识就可顺利作答。但一旦涉及到与其他知识的交汇时，就更需要关注其形的特点。有时数形结合更利于解决问题。以下简单阐述：

一．与三角函数的综合：

向量与三角的综合最为常见，是高考考查的重点内容之一，一般是以基本的运算为主。但有时需结合图形解决。

例题：已知向量 ， ， ，其中 为坐标原点，且

（1）       若 ，求 的值；

（2）       若 ， 求 的面积 。

 解析：（1） ， ， ，

y

x

O

B

A

C

θ1

θ2

，

（2）如图，

 

， ， ， ，由图可知 ， ，且 ，由 ， ， ，由 ， ， ，

如果忽略了向量的图形特征， 求法就不容易找到了。

二．与解析几何的综合：

解析几何基本思想是利用代数方法研究几何问题，是代数与几何的综合运用。而向量也具有集数形于一身的特征，所以两者常常会交汇出现。在中学教学中大家关注的往往的是两者数量关系的研究，而忘记了在形上的共同点，忽略了它们的形的作用，从而使解题过程繁琐。实际上如果在学习过程中我们能关注其形的特征，那么在综合运用中就能化繁为简，减少运算。

解几中可能出现的向量内容：

（1） ；

（2） 即 是直角；当 不共线时， 是钝角； 是锐角；

（3）在 中，给出 ,等于已知 是 的外心（三角形外接圆的圆心，三边垂直平分线的交点）；

（4）在 中，给出 ,等于已知 是 的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；

（5）在 中，给出 ,等于已知 是 的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；

（6）在 中，给出 ,等于已知 是 中 边上的中线。

        

例题：过双曲线 ： 的左焦点 作圆 的切线，切点为 ，延长 交双曲线的右支于点 ，若 ，求双曲线 的离心率。

解析：如果纯粹从数的角度，不作图可这样求解：

设 ，则 ， 为 的中点，

在圆上，且 ,

在双曲线上，

y

x

P

F1

E

O

F

由于运算量较大， 有的同学往往无法计算到底，但注意到其图形的特征，作出几何图形，解题过程就可以大大简化：

如图，

为 的中点，又 为 的中点，而 在圆上，且 ， ，且 ，由双曲线的定义知 ，据勾股定理得

，所以 。

近年高考对向量的考查难度成下降趋势，我们在复习时需要把握好尺度，在解决向量与代数，三角，解几等交汇问题时，注意运用或创造条件，调整思维方向，作出恰当的图形，运用向量工具简洁解决问题。