例谈函数最值问题的解法

田玉梅

函数求最值问题是高考考查函数性质时重点考查的问题之一，其考查形式多种多样。而在高三数学的复习过程中也遇到了各类求范围问题，发现这类问题最终总是能转化为同一类问题------求函数最值。本文就如何转化及转化后如何处理，梳理、小结了以下几种类型：

一、单纯的一元函数

一元函数求最值方法可谓多种多样，一般无须转化可直接求解。包括直接利用函数单调性法、数形结合法、导数法、基本不等式法等。这也是所有求范围类问题的共同基础。这儿举两简单例子说明。例如：

1.已知函数 的图像过点 ，则 的最小值为           。

解析：（用基本不等式求解） 在函数 的图像上， ， 。当且仅当 即 时取等号。

2.若实数 满足 ， ，则 的最大值是           。

解析：(转化后利用函数单调性求解)由 知 ，令 ， ， 得 ，即 ， 单调减，所以 ，所以 的最大值是 。

二、复杂的二元函数

二元函数求最值方法就更多种多样了，可以转化为一元函数求最值，也可以借助于基本不等式，几何图形等各种手段协同作战。下面举例说明：

（1）转化为一元函数：

3.已知函数 ，若 且 ，求 的取值范围。

解析：若 且 ，由 的单调性，知 且

在 上是减函数， 在 时取最小值 。

此题用基本不等式时等号取不到，容易错解为

（2）直接用基本不等式：

4.设 ，若 ，则 的最大值为       

解析：

，

又

的最大值为3.

（3）多种手段联合运用：

4．已知实数 满足 ，若 ，则 的取值范围为        

解析一：将 变形为 ，又 满足 ，

该圆与直线 必有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径。即

整理得 。解得

该解法数形结合，考虑到二元变量 在坐标平面内的几何意义即可。

解析二： 满足 ，可设

即

， 。

下同解析一。

（在解法二后还可以换元后求导求最值。）

三、繁杂的多元函数

一般最多是三元函数，比二元复杂一些，关键是要有降元转化的意识，有了降元转化的意识许多问题就会迎刃而解了。例如：

5.已知 ，且 求 的最大值。

解析：三元函数求最值，基本思路是降元，降为一元或者二元函数后再去处理。那么如何降以及怎样降呢？降元的基本方法是消元，本题可以这样去处理：

，即

令 ，则有 即

问题就转化为关于 的三次函数求最大值了，但还有一个关键问题需要解决，那就是自变量 的范围如何呢？

由式子 得到 ， ，

根据基本不等式 可得到 解出

这样一来就把问题成功地转化为求函数 （ ）的最大值了

通过对三次函数 求导得 在区间 上单调增，在区间

单调减， 在区间 上单调增，可得函数最大值为 。

在函数范围问题中，不论是触手可及的二元函数，还是莫测难解的三元函数，处理它们的基本思路是：降元（找目标函数） 控制范围（求定义域） 求最值。对于二元函数还可以考虑数形结合，或利用基本不等式等。掌握了这些方法后，再难的问题也能迎刃而解了。