搞清概念方法  注意区别联系

                ——必修3统计、概率之盘点

                              夏志勇

    一、统计

统计学的研究对象是客观事物的数量特征和数量关系，它是关于数据的搜集、整理、归纳和分析的方法的科学，它可以为人们判断决策提供依据，所以“日趋走俏”，逐渐受到命题者的青睐。

1、考点例析

考点1  抽样方法

实际生活中研究总体时，为了避免大量的浪费和破坏，往往通过研究样本来估计总体，常用的抽样方法有简单随机抽样、分层抽样、系统抽样，每种抽样过程中每个个体被抽取的概率都相等。

【例题】为了抽查某城市汽车尾气排放执行情况，在该城市的主干道上采取抽取车牌末位数字为8的汽车检查，这种抽样方式是           

【解析】车牌末位数字可从0到9，抽取号码为8的汽车检查，这种方式符合系统抽样的定义，所以答案为系统抽样。

【例题】利用简单随机抽样的方法，从n个个体(n>13)中抽取13个个体，若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为 ，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为   

        

【解析】抽取1个个体后，余下的每个个体被抽到的概率为 ，所以整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为

考点2  总体特征数的研究

统计学中往往借助于样本的特征来估计总体的特征，而研究样本特征最常用的特征数就是平均数与方差。平均数有下面性质：

⑴样本各数据与平均数之差的和为零，即离差之和等于零，即

⑵样本各数据与平均数之差的平方和为最小，即离差平方和为最小。

    （常数 ）  

方差有如下性质：

⑴方差的大小，受资料中每个数据的影响，如数据间变异大，求得的方差也大，反之则小；

⑵在计算方差或标准差时，各数据加上或减去一个常数，其数值不变；

⑶每个数据乘以（或除以）一个常数a，则所得的方差是原来的 倍（或 倍），标准差是原来标准差的a倍（或1/a倍）。

【例题】某食品厂对某天生产的罐头抽查了10个，样本净重如下（单位：克）

342，348，346，340，344，341，343，350，340，342，求样本的平均数。

【解析】由于题中数据都较大，而且都在常数342上、下波动，把各数据都减去342，得0，6，4，-2，2，-1，1，8，-2，0，则 = （0+6++4-2+2+-1+1+8-2+0）=1.6, 故 = +342=343.6

【点评】计算平均数时，当一组数据x₁,x₂…，x_n的各个数值较大时，可将各数据同时减去一个适当的常数a,得到 =x₁-a, ^，=x₂-a,…， ^，=x_n-a,从而 = x₁^，+a, = x₂^，+a,…， = x_n^，+a,即 = （x₁+x₂+…+x_n）= [（ ^，+a）+ ( +a)+…+（ ^，+a）]

= （ ）+ （na）= +a.

【例题】设有甲、乙、丙三种可混合馐的食品，它们的单价分别是1.8元，2.5元，3.2元，现取甲种食品50公斤，乙种食品40公斤，丙种食品10公斤，把这三种仪器混合后每公斤的单价是多少？

【解析】如果把这三个单价加起来除以3，即以 =2.5（元）为混合后的单价，这个答案是不对的，因为混合后的售价不仅与每种食品的单价有关，而且还与每种仪器的重量（公斤数）有关。这些食品混合后的售价应该等于

=2.20（元）

【点评】如果在n个数中，x₁出现f₁次，…，x_k出现f_k次（这里f₁+f₂+……+f_k=n）,那么根据平均数公式，这n个数的平均数可以表示为 = .公式中，相同数据x_i的个数f_i叫做权。这个“权”，含有所占分量轻重的意思。f_i越大，表示x_i的个数越多，于是x_i的“权”就越重，这种算法叫做加权法。

【例题】某班男、女生各20人，在一次数学测验中，男生的成绩统计分析得均分为95，标准差为6；女生成绩统计分析得均分为85分，标准差为4，则全班统计分析得均分和标准差分别为                。

【解析】利用加权法可求得平均分为 ；

求标准差先求方差，

法一、设男生的成绩分别为 ，女生的成绩分别为

由已知有

  

  

  

      

所以全班统计分析得均分和标准差分别为90分， 。

样本方差公式还有一个变形形式：

=

= ，因此该例还可用下面方法求方差。

法二、 =

=

∴

设全班40人的成绩分别为 ，由已知有

2、常见错误分析

选取样本的过程中会出现种种错误，让我们来认识一下它们吧。           

错误1、编号不当

【例题】现有100个零件，需从中抽取10个进行检查，问如何采用随机数表法得到一个容量为10的样本？

【错解】第一步，将100个零件编号1，2，3，…，100；

    第二步，在随机数表中任选一数开始，读取10个号码即可。

【分析】运用随机数表法抽样时，应将100个个体编号成：00，01，02，…，99，而不是编号成：1，2，…，100（或01，02，…，100），这样才可使100个个体都可用两位数字号码表示，以便于运用随机数表。

错误2、规则混淆

【例题】一个总体中有100个个体，随机编号为0，1，2，…，99，依编号顺序平均分成10个小组，组号依次为1，2，3，…，10.现用系统抽样方法抽取一个容量为10的样本，规定如果在第一组随机抽取的号码为 ，那么在第 组中抽取的号码个位数字与 的个位数字相同,若 则在第7组中抽取的号码是                  .

【错解】由于第一组随机抽取的号码为6，所以第二组抽取的号码为16，第三组抽取的号码为26，…，以次类推，在第7组中抽取的号码是66。

【分析】采用系统抽样时（设总体中的个体的个数为 ，样本容量为 ），若题目中没有要求抽取规则，我们先在第一段用简单随机抽样确定起始的个体编号 ，以后各段通常是将 加上间隔 ，得到第2个编号 ,第3个编号 +2 ，……（当 是整数时， = ），但是该题注明了不同于以上的规则，所以必须依据题目要求做。

【正解】由系统抽样的操作步骤可知, 的个位数字为3,而在第7组中个位数字是3的号码是63,所以第7组中抽取的号码为63.

错误3、不理解抽样的公平性

【例题】为了了解参加某种知识竞赛的1003名学生的成绩，现用系统抽样抽取一个容量为50的样本,求每名学生被抽取的概率.

【错解】(1)如果该学生是被剔除的,他被抽取的概率为0;

(2)如果他没有被剔除,他被抽取的概率为 .

【分析】抽样的步骤为

⑴随机地将这1003个个体编号为0001，0002，0003，…，1003;

⑵利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体(可利用随机数表)，剩下的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行．

所以总体中的每个个体被剔除的概率相等,均为 ，也就是每个个体不被剔除的概率相等 ,采用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是 ，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是 。

二、概率

1、考点例析

考点1、古典概型

满足两个条件：（1）所有的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件发生的可能性相等.的随机试验称为古典概型。在古典概型情形下，所属的事件 的概率的计算公式为 。其中 表示在随机试验中共包含 个基本事件， 表示事件A包含的基本事件有 个。

【例题】某号码锁有6个拨盘，每个拨盘上有从0到9共10个数字，当6个拨盘上的数字恰好组成一个六位数字号码（开锁号码）锁才能打开。如果不知道开锁号码，试开一次就把锁打开的概率是多少？

【解析】号码锁的每个拨盘上有从0到9共10个数字，即每个拨盘上的数字有10种取法，它共有6个拨盘，6个拨盘上的数字组成的六位数字号码共有 个，且基本事件出现的可能性是相等的，所以它属于古典概型。设 为“试开一次就把锁打开”, 又开锁号码只有一个,即事件 中的基本事件的只有一个，故 。

考点2、几何概型

还有一类随机试验，虽然各基本事件的发生是等可能的, 但基本事件有无数个，这就是几何概型。

在几何概型中,将基本事件组U和随机事件A与某一特定的几何区域及其子区域对应起来，其中每一个基本事件与这个特定的几何区域中的点一一对应，则事件A发生的概率即为A与U对应的几何区域面积（或长度、体积）之比.

【例题】某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机,想听电台报时，假定电台每小时报时一次，求他等待的时间短于10分钟的概率。

【解析】因为电台每小时报时一次,这个人打开收音机的时候处于两次报时之间,例如(13:00～14:00),而且取各点的可能性一样,要等待时间短于10分钟,只有当他打开收音机的时间正好处于13:50至14:00之间才有可能,所以相应的概率是 .

考点3、互斥事件

图1

学好互斥事件只要搞清下面几个问题：

1、什么是互斥事件？不能同时发生的两个事件叫做互斥事件.例如某热线电话一分钟内“呼唤次数大于3次”与“呼唤次数小于2次”就是互斥事件。

从集合的角度看事件A与事件B彼此互斥是指A所含结果组成的集合与事件B所含结果组成的集合彼此不相交（如图1）。

 

图2

2、什么是对立事件？事件A与事件B互斥，且其中必有一个发生，则称A、B为对立事件.此时记B= .如某热线电话，一分钟内“呼唤次数大于3次”与“呼唤次数不大于3次”就是对立事件.

从集合的角度看，事件 所含结果组成的集合，是全集中由事件A所含结果组成的集合的补集（如图2）.

图3

计算事件A或事件 的概率，通常用公式：

3、互斥事件与对立事件有什么联系？

两个对立事件一定是互斥事件，反之两个互斥事件不一定是对立事件.两个事件对立是两个事件互斥的充分非必要条件；两个事件互斥是两个事件对立的必要非充分条件（见图3）.

2、常见错误归纳

错误1、将“非等可能”视作“等可能”

    【例题】先后抛掷两枚骰子，求事件A：出现的点数之和等于3的概率。

【错解】掷两枚骰子出现的点数之和的可能数值为{2，3，4，……，12}，事件A的结果只有3，故

【剖析】公式P（A）＝ ，仅当所述的试验结果是等可能时才成立，而取数值2和3不是等可能的，2只有1种情况（1，1）出现，而3有两种情况（1，2），（2，1）可出现，其他的情况可类推。

【正解】先后抛掷两枚骰子可能出现的情况有：（1，1），（1，2），……，（1，6），（2，1），（2，2），……，（2，6），……，（6，1），（6，2），……，（6，6），基本事件总数为6×6＝36

在这些结果中，事件A只有两种结果（1，2），（2，1）

错误2、“互斥”与“对立”混为一谈

   【例题】从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（    ）

A. 至少有1个白球，都是白球

B. 至少有1个白球，至少有1个红球

C. 恰有1个白球，恰有2个白球

D. 至少有1个白球，都是红球

【错解】选D

【剖析】本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，要准确解答这类问题，必须搞清对立事件与互斥事件的联系与区别，这二者的联系与区别主要体现在以下三个方面：

（1）两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；

（2）互斥的概念适用于多个事件，但对立的概念只适用于两个事件；

（3）两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生。

【正解】A、B不互斥，当然也不对立，C互斥而不对立，D不但互斥而且对立，所以正确答案应为C。

错误3、选错几何概型的几何度量（测度）

【例题】在半径为1的圆内随机地取一条弦，问其长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？

A

B

C

O

图4

【错解】由 ，得该圆内接等边三角形的边长为 ,

如图4，在圆上取定点A，作弦AC，AB，则 ，所以要满足要求，则弦的另一端点应在弧BC上，则所求的概率为

【剖析】本题如果改成“在半径为1的圆上取定点A，过点A作弦，则弦长超过该圆内接等边三角形的边长的概率等于多少？”, 则上述解法是正确的，而原题中弦在圆中是随机分布的，所以解题的测度应是面积，不是弧长或角度。

【正解】由 ，得该圆内接等边三角形的边长为

圆的弦被其中点唯一确定，而当弦与圆内接等边三角形的边重合时，其中点到圆心的距离为 ，所以当且仅当弦中点位于半径为 的同心圆内时，弦长大干 ，又弦的中点在圆内均匀分布，故弦中点落入此小圆的概率为大小两圆的面积比，即 。