例说解三角形问题之攻略

夏志勇

攻略一：准确解读正、余弦定理

正弦定理、余弦定理是解三角形最重要的依据，对之理解不透彻，就无法做到物尽其用。下面是对两个定理的解读：

1、正弦定理给出了任意三角形中，三条边及其对应角的正弦值之间的对应关系:各边和它所对角的正弦的比相等，即 （其中R为△ABC外接圆的半径）.它的常用变形有：

（1） ；

（2） ；

（3）

（4） ；

（5） .

这些变形在解题时有着广泛的应用。

2、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即：

; ;

其常用变形为

在余弦定理中,每一个等式均含有四个量,利用方程的观点,知三可以求一。

攻略二、熟悉常见题型及相应解法

题型1、求三角形的边和角

在三角形的六个元素中，已知三个（除三个角外）元素便可求出其余元素，常见类型及其解法如下表：

已知条件	应用定理	一般解法
一边和两角，如	正弦定理	由 ，求A，由正弦定理求出b与c，有解时，只有一解
两边和夹角，如	余弦定理 正弦定理	由余弦定理求出第三边c，由正弦定理求出较小边所对的角，再由 ，求出另一角，有解时，只有一解
三边，如	余弦定理	由余弦定理求出A，B，再利用 ，求出C，有解时，只有一解
两边和其中一边的对角，如	正弦定理	由正弦定理求出B，由 ，求出C，再利用正弦定理求出c，可有两解、一解或无解

例1、在 ABC中，已知 ， ， ，求b及A.

解：∵

= cos

=

=

∴

求 可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理：

方法一：∵cos ∴

方法二：∵sin

又∵ ＞ ＜ ∴ ＜ ，即 ＜ ＜

∴

例2、已知三角形的三边的长是三个连续的整数，最大角是最小角的两倍，求此三角形的最小边的长.

分析、设最小边长为 ，则另两边长分别为 ，三边长中只有一个未知量，设最小内角为 ，则最大角为 ，另一角为 ，三角中也只有一个未知量，因此只要建立两个方程就可求解。

解：设最小边长为 ,最小内角为

由正弦定理知： ，得

由余弦定理知：

解之得： ，所以最小边长是4.

 

题型2、求三角形中除边角外其他元素的值

例3、已知 中（如图）， ，求AD的长.

A

B

C

D

分析、该题如果先用余弦定理解出BC边长，然后在 中分别用余弦定理建立方程组解出AD，则运算繁琐，而利用面积相等列方程，简单快捷，事半功倍。

解：设 ，由 得

即

△ABC中， 有多种求法。设角A、B、C所对的边分别为 、b、c，各边上的高设为 ,则有

1、底高法：

2、两边夹角法：

3、外接圆半径法： （其中R为△ABC外接圆半径）

4、内切圆半径法： (其中 表示半周长，r为内切圆半径)

请同学们自己解决下面问题：已知三角形ABC中，三边长分别为5、6、7，求外接圆半径R与内切圆半径r.（答案： ）

题型3、判断三角形形状

在判定三角形形状时，一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，通常是运用正弦定理。

例4、△ABC中，若 ，判断△ABC的形状.

解法一：由正弦定理，得

∴2A=2B或2A =180°-2B，即A=B或A+B=90°

∴△ABC为等腰或直角三角形

解法二、综合正、余弦定理，得

化简：  

∴

∴  

∴△ABC为等腰或直角三角形．

题型4、三角形中的证明问题

例5、已知 是 的三个内角，且满足 ，求证：

分析：要证A＋B＝120°，由于A＋B＋C＝180°，只要证明C＝60°，而已知条件为三角函数关系，故应考虑向三角函数的转化，又在0°～180°之间，余弦值所对应角是惟一的，故可证明cosC＝ ，而由余弦定理cosC＝ ，所以应考虑把已知的角的关系式转化为边的关系.

证明：由

可得

又∵sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ，

∴

整理得

∴cosC＝

又   ∴

∴

点评：(1)有关三角形内角的证明，选择三角函数名称时，一要方便，二要能要省去取舍的麻烦.同时注意在根据三角函数值求角时，应先确定角的范围；

(2)在将已知条件中角的关系转化为边的关系时，运用了正弦定理的变形式 ，这一转化技巧，我们要熟练掌握.

攻略三：洞悉常见错误并知晓错因

常见错1、利用正弦定理求三角形内角时易丢解或多解

在利用正弦定理求角时，由于正弦函数在 内不严格单调，所以角的个数可以不唯一，这时应注意借助已知条件加以检验，务必做到不漏解、不多解。

例7、在△ABC中， ，求△ABC的面积.

错解：由正弦定理，得 ，

∴ 。∴

辨析：本题错误的原因是利用正弦定理求C时丢了一解。事实上，由 ，可得 或 ，这两个结果都符合题意。

正解：由正弦定理，得

又∵AB＞AC     ∴ 或

当 时， ，∴ ；

当 时， ，∴

∴△ABC的面积为

在解三角形中，如果忽略隐含条件，还会将范围扩大，产生增解。

例8、在△ABC中，已知a＝2，b＝ ，C＝15°，求角A.

    错解：由余弦定理，得

   

      

    ∴ 。

    又由正弦定理，得

    而 。

    辨析：由题意 ，∴ 。因此A＝150°是不可能的。错因是没有认真审题，未利用隐含条件。在解题时，要善于应用题中的条件，特别是隐含条件，全面细致地分析问题，避免错误发生。

    正解：同上 ，

。

常见错2、忽略三角形三边关系而导致出错

解题时，同学们常常忽略三角形的三边满足两边之和大小第三边，而使某些字母的范围变大。

例9、若a，b，c是三角形的三边长，证明长为 的三条线段能构成锐角三角形.

    错解：不妨设 ，只要考虑最大边的对角θ为锐角即可。

    。

    由于a，b，c是三角形的三边长，根据三角形三边关系，有 ，即 。

    ∴长为 的三条线段能构成锐角三角形。

    辨析：三条线段构成锐角三角形，要满足两个条件：①三条边满足三角形边长关系；②最长线段的对角是锐角。显然错解只验证了第二个条件，而缺少第一个条件。

    正解：由错解可得

    又∵

                     

    即长为 的三条线段能构成锐角三角形。

常见错3、转化不等价

众所周知，解题的过程就是转化的过程，但如果不是等价转化，就容易产生错误。

例10、有一道解三角形的题目，因纸张破损有一个条件模糊不清，具体如下：“在 中，已知                   ，求角B.”若破损处的条件为三角形的一条边长的大小，且答案提示 ，试在横线上将条件补充完整。

错解：原题可转化为已知 且 ，求 .由正弦定理易得 ，故填 即可.

辨析：当 时，由正弦定理解得 ，又 ，所以 ,与题意矛盾.说明上述转化与原题不等价。

正解：由已知三角形中角 最大，所以横线上填写边 的长度时，得到的角 便只有一解，与题意吻合,即正确答案为 .