江苏卷第12题的几种解法

海安县曲塘中学  田秀权

题目  设实数 满足 ， ，则 的最大值是________．

本题主要考察不等式的知识以及其应用，探究其解决的方法中渗透了高中数学的几个重要思想：化归转化思想、整体代换思想、方程思想，很好地考察了学生的思维能力．

1   把握结构，巧寻关系

解法1 观察条件式与被求式的结构得：  

，

，当且仅当 ，即 时取到最大值．

2   等价转化，柳暗花明

解法2 由条件易得 ，故对条件式和被求式取对数得：

， ；

令 ， ， ，所以题目等价转化为：

A

O

n

m

已知 ，求 的最大值．   

利用线性规划的知识，满足这些条件的点 的区域为

图中的阴影部分．

可以求得

当直线 过点 时，

函数 单调递增

．

 

解法3 利用等价转化(如解法2)得：

已知 ，求 的最大值． 

令

化简得

即

当且仅当 ，即 时成立，

根据函数 的单调性得：

3           方程思想，整体代换

解法4 令 ，

由方程组 解得

所以被求式

当且仅当 ，即 时取到最大值．