“整体思想”处理三角函数的对称性

海安县曲塘中学  田秀权

三角函数部分是高考的一个重点内容，而三角函数的对称性又是三角函数的一个重要性质，在高考中频频出现；课本中这一部分未加以介绍，笔者对这部分略作小结，供参考．

一、对称性

由三角函数图像知：

注：正切函数 ，在 时无意义，但其图像关于点 对称，故其对称中心是 ，而非 ．

函数 ， ， 的对称性如何？怎样求解？＂整体思想＂是解决这类问题的通法，即令相位 为一个整体求解，如 的对称轴：令 ，则 ， 的对称轴为 ，故令 ，解得 的对称轴 ．

利用以上方法得：

函数	对称轴	对称中心
	无

 二、应用举例

关于对称性的应用大致分两个层次．

（一）直接求对称轴，对称中心．

例1　函数 的图象的对称轴方程是            ．

　　　解：令 ， ．

例2　求函数 的对称中心的坐标．

解：令 ，

的对称中心是

的对称中心的坐标是 ．

（二）利用对称性求参数值．

例3　若函数 的图像关于直线 对称，则 的值为_____．

析　根据以上所讲，先将 化成单名函数的形式，再利用整体法．

解： （ ）

令 为函数的对称轴，

由题意，可令

又 ，

例4 （2009全国卷Ⅰ理）如果函数 的图像关于点 中心对称，那么 的最小值为（　　）

（A）            （B）           （C）             (D)     

　   解：令 ，

的对称中心为 ，

由题意， 是其中一个对称中心，

令 ，

当 时， 取得最小值 ，故选 ．

例5　（2003 天津卷）已知函数 是 上的偶函

数，其图像关于点 对称，且在区间 是单调函数，求 和 的值．

　　解： 是偶函数，即有对称轴

令

又 ，所以 ，

的图像关于点 对称，

令

当 时， ， 在 是减函数；

当 时， ， 在 是减函数；

当 时， ， 在 不是单调函数．

综上得 ．